Чему равна сумма вероятностей противоположных событий

В теории вероятностей противоположные события играют важную роль при расчетах. Понимание их свойств позволяет упрощать решение многих вероятностных задач.

Определение противоположных событий

Противоположные события (дополнительные события) - это такие два события, которые:

• Являются взаимоисключающими (не могут наступить одновременно)
• Образуют полную группу событий (одно из них обязательно происходит)

Обозначения

Основное свойство противоположных событий

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:

P(A) + P(Ā) = 1

Вывод формулы

1. По определению P(Ω) = 1 (вероятность достоверного события)
2. Противоположные события образуют полную группу: A + Ā = Ω
3. Следовательно, P(A) + P(Ā) = P(Ω) = 1

Примеры применения

Пример 1: Бросание игральной кости

Пример 2: Стрельба по мишени

• Вероятность попадания P(A) = 0.8
• Вероятность промаха P(Ā) = 1 - 0.8 = 0.2
• Проверка: 0.8 + 0.2 = 1

Практическое применение свойства

Данное свойство часто используется для:

• Упрощения расчетов (когда проще найти вероятность противоположного события)
• Проверки правильности вычислений
• Решение задач "хотя бы одно"

Типовая задача

Вероятность того, что лампочка проработает более 1000 часов равна 0.95. Какова вероятность, что она перегорит раньше?

Решение: P = 1 - 0.95 = 0.05

Обобщение на несколько событий

Для полной группы из n попарно несовместных событий:

P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ) = 1

Свойство суммы вероятностей противоположных событий является фундаментальным в теории вероятностей и широко применяется в статистике, теории надежности, страховании и других областях.